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CALCULO MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON CON EXCELL

CALCULO MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON CON EXCELL

La ecuación diferencial en derivadas parciales que desde su descubrimiento en 1973 ha sido denominada como el modelo de Black Scholes Merton se muestra a continuación y se aporta un video (en ingles) que indica como poder calcular el modelo con una hoja excell



Supongamos que el valor de una acción, que se toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica:

,

donde es la tasa promedio de rendimiento, t es el tiempo, es la volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface una distribución normal N(0,). La igualdad planteada se conoce como movimiento browniano geométrico. El valor de una opción sobre aquel activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una función del valor de ese activo S, y del tiempo t.

Usando el lema de Itô (que es una conocida fórmula del cálculo estocástico) se tiene que:

En este caso, igual que en el caso discreto, se puede valorar el precio de la opción comparando con un portafolio apropiado, que elimine la aleatoriedad del movimiento browniano. Como S y V están correlacionados, esto puede hacerse construyendo un portafolio que consiste de una opción y un número de acciones. El valor de este portafolio estará dado por:

Por lo tanto el cambio del valor del portafolio será:

Que combinando con las expresiones dadas para dS y dV se convierte en:

Además la ganancia de invertir  a una tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo dt, sería rdt. Entonces asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que no hay costos de transacción, se tendría que,

Sustituyendo en la expresión anterior y dividiendo por t se obtiene la

ecuación diferencial de Black–Scholes:

El valor de cualquier derivado financiero debe satisfacer esta ecuación básica.

Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales, la ecuación de B-S-M tiene muchas soluciones, que dependen de las condiciones iniciales y de frontera, y que corresponden a la multitud de posibles instrumentos derivados financieros. En muchos casos prácticos, los procedimientos no permiten una solución analítica, y se hace necesario recurrir a métodos numéricos.

En el caso de una opción call Europea, con precio de ejercicio E, y término de expiración T, al final del período la opción debe valer exactamente máx(S-E, 0) cuando t= T. Para este derivado en particular y con la condición dada, el valor de esa opción, generado por el modelo está dado por:

Esta es la llamada fórmula de Black Scholes Merton. En ella N(x) es el valor de la función de probabilidad acumulada de una distribución normal estándar, es decir:

y

De acuerdo con la fórmula, el valor de la opción de Call C puede ser explicada por la diferencia entre el precio esperado de la acción -el primer término del miembro derecho- y el costo esperado -el segundo término del segundo miembro- si la opción es ejercida.

El valor de la opción es mayor cuanto más alto sea el precio presente de la acción S; cuanto más alta sea la volatilidad del precio de la acción -medida por la desviación estándar -; cuanto más alta sea la tasa de interés libre de riesgo r; cuanto más largo sea el tiempo hasta la madurez T, y cuanto más bajo sea el precio de ejercicio E, ya que entonces aumenta la probabilidad de que la opción sea ejercida. Esta probabilidad es, bajo la hipótesis de neutralidad del riesgo, evaluada por la función de distribución normal estandarizada N, en el segundo término del segundo miembro.

En la ecuación todos los parámetros son observables, excepto la volatilidad. Ésta debe estimarse a partir de datos históricos del mercado. Alternativamente, si se sabe el precio de la opción call, puede utilizarse para calcular la volatilidad estimada por el mercado, también llamada "volatilidad implícita".

Con frecuencia se confunden el modelo y la fórmula. Es importante aclarar que el modelo B-S-M es la ecuación diferencial en derivadas parciales; y la fórmula de B-S-M, aunque es muy aplicada, sólo es una solución particular, válida para condiciones iniciales o de frontera muy específicas.

Fisher Black y Myron Scholes, quienes fueron los creadores originales del modelo, lograron plasmarlo en un artículo en octubre de 1970, que titularon "A Theoretical Valuation Formula for Options, Warrants and Other Securities".

Al tratar de publicarlo en el Journal of Political Economy, de la Universidad de Chicago, el trabajo fue rechazado por ser excesivamente especializado. Posteriormente intentaron de nuevo publicarlo en Review of Economic and Statistics, de Harvard, y volvieron a fracasar. Reescribieron el artículo en enero de 1971, con nuevo título -"Capital Market Equilibrium and the Pricing of Corporate Liabilities"- pero, otra vez tuvieron una respuesta negativa.

Pero insistieron, y triunfó su persistencia: Lograron que la versión final, de mayo de 1972, titulada "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", apareciera en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, un año después de que, en un artículo del Journal of Finance, Black y Scholes explicaran que su fórmula había sido verificada empíricamente.

El modelo toma su nombre de Black y Scholes porque fueron ellos los primeros en deducirlo, basando sus estudios en el Capital Asset Pricing Model (CAPM), por el cual Sharpe ganó el premio Nobel de economía en 1990.

Pero mientras preparaban su trabajo de 1973, la influencia de Robert C. Merton resultó decisiva. "Las sugerencias de Merton, que también trabajaba en la valuación de opciones -dice Black en un artículo de 1989-, mejoraron nuestro paper. En particular, Merton señaló que si se asume un trading continuo entre la opción y la acción, puede mantenerse entre ellas una relación que esté, literalmente, libre de riesgo. En la versión final del modelo, Black y Sholes, tuvieron en cuenta los aportes de Merton.

Por lo tanto , fue Merton quien advirtió que el equilibrio de mercado no es un requisito para la valuación de la opción; basta con que no exista oportunidad alguna de arbitraje. El método descrito en el caso particular mencionado se basa, precisamente, en la ausencia de arbitraje y en el cálculo estocástico. Esta idea puede ser generalizada para la valuación de otros tipos de derivados.

En un trabajo de 1973, Merton publicó un paper en el que incluyó la fórmula de Black-Scholes, generalizada a otras cuestiones: por ejemplo, dejó que la tasa de interés fuera estocástica. Cuatro años más tarde, también desarrolló un método más general de derivar la fórmula, al basarse en la posibilidad de crear opciones, sintéticamente, mediante el trading de la acción subyacente y un bono libre de riesgo. Estas son las razones por las cuales es usual mencionar a los tres autores cuando se hace alguna referencia al modelo, aunque Black y Scholes publicaron sus resultados tres meses antes que Merton.

Merton y Scholes recibieron en 1997 el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo sobre la valoración. El jurado que otorgó dicho galardón también reconoció las aportaciones de Black, que no pudo compartir el premio con sus colegas por haber fallecido el 30 de agosto de 1995.