La ecuación diferencial en derivadas parciales que desde su descubrimiento en 1973 ha sido denominada como el modelo de Black Scholes Merton se muestra a continuación y se aporta un video (en ingles) que indica como poder calcular el modelo con una hoja excell
Supongamos que el valor de una acción, que se toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica:
,
donde es la tasa promedio de rendimiento, t es el tiempo, es la volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface una distribución normal N(0,). La igualdad planteada se conoce como movimiento browniano geométrico. El valor de una opción sobre aquel activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una función del valor de ese activo S, y del tiempo t.
Usando el lema de Itô (que es una conocida fórmula del cálculo estocástico) se tiene que:
En este
Por lo tanto el cambio del valor del portafolio será:
Que combinando con las expresiones dadas para dS y dV se convierte en:
Además la ganancia de
Sustituyendo en la expresión anterior y dividiendo por t se obtiene la
ecuación diferencial de Black–Scholes:
El valor de cualquier derivado financiero debe satisfacer esta ecuación básica.
Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales, la ecuación de B-S-M tiene muchas soluciones, que dependen de las condiciones iniciales y de frontera, y que corresponden a la multitud de posibles instrumentos derivados financieros. En muchos casos prácticos, los procedimientos no permiten una solución analítica, y se hace necesario recurrir a métodos numéricos.
En el caso de una opción
Esta es la llamada fórmula de Black Scholes Merton. En ella N(x) es el valor de la función de probabilidad acumulada de una distribución normal estándar, es decir:
y
De acuerdo con la fórmula, el valor de la opción de Call C puede ser explicada por la diferencia entre el precio esperado de la acción -el primer término del miembro derecho- y el costo esperado -el segundo término del segundo miembro- si la opción es ejercida.
El valor de la opción es mayor cuanto más alto sea el precio presente de la acción S; cuanto más
En la ecuación todos los parámetros son observables, excepto la volatilidad. Ésta debe estimarse a partir de datos históricos del
Con frecuencia se confunden el modelo y la fórmula. Es importante aclarar que el modelo B-S-M es la ecuación diferencial en derivadas parciales; y la fórmula de B-S-M, aunque es muy aplicada, sólo es una solución particular, válida para condiciones iniciales o de frontera muy específicas.
Fisher Black y Myron Scholes, quienes fueron los creadores originales del modelo, lograron plasmarlo en un artículo en octubre de 1970, que titularon "A Theoretical Valuation Formula for Options, Warrants and Other Securities".
Al tratar de publicarlo en el Journal of Political Economy, de la Universidad de Chicago, el trabajo fue rechazado por ser excesivamente especializado. Posteriormente intentaron de nuevo publicarlo en Review of Economic and Statistics, de Harvard, y volvieron a fracasar. Reescribieron el artículo en enero de 1971, con nuevo título -"Capital Market Equilibrium and the Pricing of Corporate Liabilities"- pero, otra vez tuvieron una respuesta negativa.
Pero insistieron, y triunfó su persistencia: Lograron que la versión final, de mayo de 1972, titulada "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", apareciera en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, un
El modelo toma su nombre de Black y Scholes porque fueron ellos los primeros en deducirlo, basando sus
Pero mientras preparaban su
Por lo tanto , fue Merton quien advirtió que el equilibrio de mercado no es un requisito para la valuación de la opción; basta con que no exista oportunidad alguna de arbitraje. El método descrito en el caso particular mencionado se basa, precisamente, en la ausencia de arbitraje y en el cálculo estocástico. Esta idea puede ser generalizada para la valuación de otros tipos de derivados.
En un trabajo de 1973, Merton publicó un paper en el que incluyó la fórmula de Black-Scholes, generalizada a otras cuestiones: por ejemplo, dejó que la tasa de interés fuera estocástica. Cuatro años más tarde, también desarrolló un
Merton y Scholes recibieron en 1997 el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo sobre la valoración. El jurado que otorgó dicho galardón también reconoció las aportaciones de Black, que no pudo compartir el premio con sus colegas por haber fallecido el 30 de agosto de 1995.